Question

已知a为常数，若曲线y=ax²+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[-

  1

  2

  ，+∞）
• B．[-

  1

  2

  ，0）
• C．[

  1

  2

  ，+∞）
• D．[1，+∞）

Answer 1

分析：根据题意，曲线y=ax²+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，转化为f′（x）=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．

解答：解：令y=f（x）═ax²+3x-lnx
由题意，x+y-1=0斜率是-1，则与直线x+y-1=0垂直的切线的斜率是1
∴f′（x）=1有解
∵函数的定义域为{x|x＞0}
∴f′（x）=1有正根
∵f（x）=ax²+3x-lnx
∴f'（x）=2ax+3-

1

x

=1有正根
∴2ax²+2x-1=0有正根
∴2a=

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1
∴2a≥-1
∴a≥-

1

2

故选A．

点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．