Question

已知函数f(x)=loga(x2-ax+1)．
（1）若定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若此函数在区间[2，3]上是递增的，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得x²-ax+1＞0恒成立，故有

a＞0 a≠1 △=a2-4＜0

，由此求得a的范围．
（2）令t=x²-ax+1，分①当a＞1时、和②当0＜a＜1两种情况，由题意根据复合函数的单调性以及二次函数的性质，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）由题意可得：要使f（x）的定义域为R，则对任意的实数x都有x²-ax+1＞0恒成立，故有

a＞0 a≠1 △=a2-4＜0

，
解得，0＜a＜1，或1＜a＜2，即a的范围为（0，1）∪（1，2）．
（2）令t=x²-ax+1，①当a＞1时，因为此函数在区间[2，3]上为增函数，则t=x²-ax+1在[2，3]上为增函数．
所以a要满足

a 2 ≤2 4-2a+1＞0

，解得1＜a＜

5

2

．
②当0＜a＜1时，由题意可得，t=x²-ax+1在[2，3]上为减函数．
所以a要满足

a 2 ≥3 9-3a+1＞0

，a无解．
综上，a的取值范围1＜a＜

5

2

，即a的范围为（1，

5

2

）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，属于中档题．