Question

7．已知函数f（x）=e^xlnx+$\frac{{2{e^{x-1}}}}{x}$．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f′（1）=e，进一步求得f（1）=2，则函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程可求；
（2）函数f（x）=e^xlnx+$\frac{{2{e^{x-1}}}}{x}$-1的定义域为（0，+∞），由（1）得到函数在定义域内的最小值为1，则答案得证．

解答 （1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），${f^'}（x）={e^x}lnx+\frac{e^x}{x}+\frac{{2x{e^{x-1}}-2{e^{x-1}}}}{x^2}$…（2分）
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=e（x-1）+2；                              …（4分）
（2）证明：由（1）知，f（x）=e^xln x+$\frac{2}{x}$e^x-1，
从而f（x）＞1等价于xln x＞xe^-x-$\frac{2}{e}$．…（6分）
设函数g（x）=xln x，
则g′（x）=1+ln x，
所以当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，g′（x）＜0；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，
从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．…（8分）
设函数h（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}$，则h′（x）=e^-x（1-x）．
所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-$\frac{1}{e}$．…（10分）
因为g_min（x）=h（1）=h_max（x），
所以当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．…（12分）

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，是中高档题．