分析 (1)求出原函数的导函数,得到f′(1)=e,进一步求得f(1)=2,则函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程可求;
(2)函数f(x)=exlnx+$\frac{{2{e^{x-1}}}}{x}$-1的定义域为(0,+∞),由(1)得到函数在定义域内的最小值为1,则答案得证.
解答 (1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),${f^'}(x)={e^x}lnx+\frac{e^x}{x}+\frac{{2x{e^{x-1}}-2{e^{x-1}}}}{x^2}$…(2分)
由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,
故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=e(x-1)+2; …(4分)
(2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+$\frac{2}{x}$ex-1,
从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-$\frac{2}{e}$.…(6分)
设函数g(x)=xln x,
则g′(x)=1+ln x,
所以当x∈(0,$\frac{1}{e}$)时,g′(x)<0;
当x∈($\frac{1}{e}$,+∞)时,g′(x)>0.
故g(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上单调递减,在($\frac{1}{e}$,+∞)上单调递增,
从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$.…(8分)
设函数h(x)=xe-x-$\frac{2}{e}$,则h′(x)=e-x(1-x).
所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-$\frac{1}{e}$.…(10分)
因为gmin(x)=h(1)=hmax(x),
所以当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.…(12分)
点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最值,是中高档题.
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A. | $2\sqrt{2}π+20$ | B. | $\frac{{2\sqrt{2}π}}{3}+8$ | C. | $({2\sqrt{2}+2})π+16$ | D. | $2\sqrt{2}π+16$ |
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A. | 若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|,则$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$ | B. | 若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$,则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$| | ||
C. | 若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|,则存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$ | D. | 若存在实数λ使得$\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{b}$,则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$| |
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