Question

下列四个命题：
①若m∈（0，1]，则函数f（x）=m+

3

m

的最小值为2

3

②已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥β
③△ABC中，

AB

和

CA

的夹角等于180°-A
④若动点P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=-2的距离小1，则动点P的轨迹方程为y²=4x．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：①根据基本不等式求出函数的最小值，并求出此时m的值，由已知m的范围即可判断命题正确与否；
②若α⊥β，β⊥γ，平面α与β不一定平行，本命题错误；
③根据平面向量夹角的定义即可判断命题正确与否；
④设出点P的坐标，根据题意列出等式，化简后即可得到动点P的轨迹方程，作出判断．

解答：解：①∵m＞0，∴m+

3

m

≥2

3

，当且仅当m=

3

m

，即m=

3

时取等号，
但是m∈（0，1]，故函数f（x）=m+

3

m

的最小值不为2

3

，本选项是假命题；
②平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，平面α与β不一定平行，本选项是假命题；
③把

CA

平移，使点C与A重合，得到

AB

和

CA

的夹角为A的补角，即180°-A，本选项为真命题；
④设动点P的坐标为（x，y），由动点P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=-2的距离小1，
得：|PF|=|x+2|-1，即

(x-1)2+y2

=|x+2|-1，
当x≥-2时，两边平方得：y²=4x，即动点P的轨迹方程为y²=4x，本选项是真命题，
则正确命题的序号为：③④．
故答案为：③④

点评：此题考查了基本不等式，抛物线的定义以及两平面间的位置关系．基本不等式a+b≥2

ab

中a与b都大于0，且当且仅当a=b时取等号，抛物线的定义为到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹，掌握这些知识是解本题的关键．