Question

已知函数．
（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

解：（1）由x²-1≠0，得x≠±1，
所以，函数的定义域为x∈R|x≠±1（4分）
（2）函数在（1，+∞）上单调递减．（6分）
证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），设x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，（8分）
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁²-1＞0，x₂²-1＞0，x₁+x₂＞0．
又x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，故△y＜0．
因此，函数在（1，+∞）上单调递减．（12分）
分析：（1）f（x）为分式函数，则由分母不能为零，解得定义域；
（2）要求用定义证明，则先在（1，+∞）上任取两变量且界定大小，然后作差变形看符号．
点评：本题主要考查函数定义域的基本求法和单调性定义证明函数的单调性．