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(本题满分15分)已知的三个顶点在抛物线上,是抛物线的焦点,且,

(Ⅰ)求抛物线的方程;

(Ⅱ)若直线与上述抛物线相交于点,直线过点且与处的切线垂直. 求证:直线关于直线的对称直线经过定点.

 

【答案】

 

(Ⅰ)(Ⅱ)关于的对称直线经过定点

【解析】本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线、向量、相切、对称等,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.

(1)由抛物线的定义得到关于p的关系式得到p的值,从而得到抛物线的方程。

(2)设点p, 的抛物线的切线的斜率为表出切线方程,然后利用斜率设的倾斜角为可得关于的对称直线的倾斜角为

得到过定点的求证。

(Ⅰ)解:由已知,

抛物线的方程是

(Ⅱ)解:

的抛物线的切线的斜率为

的方程为

的倾斜角为可得关于的对称直线的倾斜角为

的方程为

过定点

关于的对称直线经过定点

 

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