Question

已知

a

=（1+cos2x，1），

b

=（1，m+

3

sin2x）（x，m∈R），且f（x）=

a

•

b

；
（1）求函数y=f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）的最大值是4，求m的值，并说明此时f（x）的图象可由y=2sin(x+

π

6

)的图象经过怎样的变换而得到、

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，两角和的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式求函数y=f（x）的最小正周期；
（2）利用（1）的结论，以及f（x）的最大值是4，求出m的值，推出函数的解析式，利用函数的平移与伸缩变换，f（x）的图象可由y=2sin(x+

π

6

)的图象经过上各点的横坐标变为原来的

1

2

，纵坐标不变得到的．

解答：解：（1）f(x)=(1+cos2x)+(m+

3

sin2x)=2sin(2x+

π

6

)+m+1，
∴最小正周期为T=

2π

2

=π、（6分）
（2）当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，时，f（x）_max=2+m+1=4?m=1、（9分）
此时，f（x）=2sin(2x+

π

6

)+2、
将y=2sin(x+

π

6

)的图象上各点的横坐标变为原来的

1

2

，纵坐标不变，
再向上平移2个单位即可得到f（x）的图象、（13分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，函数解析式的求法，图象的变换，考查计算能力，常考题型．