学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽
为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为
，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．
（1）求水面宽；
（2）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？
（3）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
（1）
米（2）
立方米；（3）
米
【解析】
试题分析：（1）以O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，写出A，B点的坐标，利用待定系数法抛物线方程，利用水深即为水面与抛物线交点的纵坐标，代入抛物线方程求出水面与抛物线交点的横坐标，结合图知所求横坐标的2倍就是水面宽度；（2）利用定积分求出水体底面面积，再用柱体体积公式求出水体体积；（3）设出切点坐标，利用切点的导数就是切线的斜率求出切线的斜率，利用直线方程的点斜式求出切线方程，求出上下两底顶点的坐标，利用上下底顶点坐标的二倍就是梯形上下底宽算出梯形上下底的宽，将梯形面积表示为切点的横坐标的函数，利用基本不等式求出面积取最小值时对应的切点坐标，从而求出梯形的下底宽.
试题解析:（1）如图建立直角坐标系，设抛物线方程为
．
则由抛物线过点
，可得
．
于是抛物线方程为
．
当
时，
，由此知水面宽为（米）．
（2）
（立方米）
（3）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切．
设切点
是抛物线弧
上的一点，过
作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形
，则切线
的方程为：
，于是
．
记梯形的面积为
，则
，
当且仅当
，
时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为米时，所挖的土最少．
考点：1.抛物线的图像与性质；2.定积分；3.利用导数求函数的切线；4.利用基本不等式求函数最值;5.函数应用.
黄冈小状元解决问题天天练系列答案
三点一测快乐周计划系列答案科目：高中数学 来源：2013-2014学年安徽省安庆市高三第二次模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有
、
两个定点投篮位置，在点投中一球得2分，在点投中一球得3分.其规则是：按先后再的顺序投
篮.教师甲在和点投中的概率分别是
，且在、两点投中与否相互独立.
（1）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；
（2）若教师乙与甲在A、B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.
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科目：高中数学 来源：2013-2014学年安徽省合肥市高三第二次教学质量检测理科数学试卷（解析版） 题型：填空题
在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）.以
为极点，射线
为极轴的极坐标系中，曲线
的方程为
，曲线与交于
两点，则线段
的长度为___________.
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科目：高中数学 来源：2013-2014学年安徽省“皖西七校”高三年级联合考试理科数学试卷（解析版） 题型：选择题
已知
是两个不同的平面，下列四个条件中能推出
的是（ ）
①存在一条直线
；
②存在一个平面
；
③存在两条平行直线
；
④存在两条异面直线
.
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
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，
，则
在
上的投影的取值范围是（ ）
B.
C.
D.
的焦点坐标为（ ）
B.
C.
D.
中，
，
，
，则
与平面
所成角的余弦值为.
”的否定是.