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    【题目】如图，在直角梯形ABCP中，，，，D是AP的中点，E，G，F分别为PC、CB、PD的中点，将沿CD折起，使得二面角为直二面角.

    （1）证明：平面EFG；

    （2）求二面角的大小.

    【答案】（1）证明见解析（2）45°

    【解析】

    （1）由题意先证平面平面PAB，再根据面面平行的性质即可证明结论；

    （2）以D为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解二面角．

    （1）证明：，分别为，的中点，，

    同理：，

    又，，又

    平面PAB，

    同理平面PAB，

    ，，

    平面平面PAB，

    又平面PAB，

    平面EFG；

    （2）解：以D为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

    则，，，

    则，.

    设平面的法向量为，

    则，即，取，

    易知是平面PCD的一个法向量，

    ，

    结合图知二面角的平面角为．

    练习册系列答案
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    【题目】在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是( )

    A.函数是奇函数B.对任意的，都有

    C.函数的值域为D.函数在区间上单调递增

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    【题目】1772年德国的天文学家波得发现了求太阳的行星距离的法则，记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：

    星名

    水星

    金星

    地球

    火星

    木星

    土星

    与太阳的距离

    4

    7

    10

    16

    52

    100

    除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐经过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带，请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是（ ）

    A.388B.772C.1540D.3076

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知圆的半径为2，为平面上一点，，是圆上动点，线段的垂直平分线和直线相交于点．

    （1）以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求点的轨迹方程；

    （2）设（1）中点轨迹与直线相交于两点，求三角形的面积的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是正方体表面上一动点，则下列说法正确的个数为（ ）

    ①若点M在平面ABCD内运动时总满足，则点M在平面ABCD内的轨迹是圆的一部分；

    ②在平面ABCD内作边长为1的小正方形EFGA，点M满足在平面ABCD内运动，且到平面的距离等于到点F的距离，则M在平面ABCD内的轨迹是抛物线的一部分；

    ③已知点N是棱CD的中点，若点M在平面ABCD内运动，且平面，则点M在平面内的轨迹是线段；

    ④已知点P、Q分别是，的中点，点M为正方体表面上一点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为.

    A.1B.2C.3D.4

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：

    交强险浮动因素和费率浮动比率表

    浮动因素

    浮动比率

    上一个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮

    上两个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮

    上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故

    下浮

    上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故

    上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故

    上浮

    上一个年度发生有责任道路交通死亡事故

    上浮

    某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

    类型

    数量

    10

    5

    5

    20

    15

    5

    （1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；

    （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：

    ①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆车，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；

    ②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图所示的几何体中，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，点M，N分别在棱FD，ED上.

    （1）若平面MAC，设，求的值；

    （2）若，平面AEN平面EDC所成的锐二面角为，求BE的长.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，.

    （Ⅰ）求证：平面；

    （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值.

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    【题目】已知分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与直线的交点为.

    （1）证明：点恒在椭圆上.

    （2）设直线与椭圆只有一个公共点，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.

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