Question

【题目】如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）．

（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；

（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）证明OP⊥AE，OB⊥AE，得到AE⊥平面POB，即可证明平面POB⊥平面ABCE；

（Ⅱ）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面平面PCE的一个法向量，平面PAE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣P﹣EC的余弦值．

（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE为等边三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE,

即在△PAE中，OP⊥AE，

∴AE⊥平面POB，AE平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE；

（Ⅱ）在平面POB内作PQ⊥OB=Q，∴PQ⊥平面ABCE．

∴直线PB与平面ABCE夹角为，又∵OP=OB，∴OP⊥OB，O、Q两点重合，

即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，

建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，

∴，，

设平面PCE的一个法向量为，

则，即，设，

则y=-1，z=1，∴，

由题意得平面PAE的一个法向量，

设二面角A-P-EC为α，．

即二面角A-P-EC为α的余弦值为．