【题目】对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.
(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明: 是等差数列.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)因为是等差数列,设其公差为,则,只需证明,即可得到等差数列是“数列”;(2)数列既是“数列”,又是“数列”,可得, ,结合两式化为,其中,验证前四项也是等差数列即可得结论.
试题解析: (1)因为是等差数列,设其公差为,
则,从而,当时,
所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,
因此等差数列{an}是“P(3)数列”.
(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,
当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①
当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②
由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③
an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④
将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,
所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.
在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,
所以a2=a3-d′,
在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,
所以a1=a3-2d′,
所以数列{an}是等差数列.
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【题目】已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关,为了确定下一个时段鸡舍的控制温度,某企业需要了解鸡舍的温度 (单位:),对某种鸡的时段产蛋量(单位:) 和时段投入成本(单位:万元)的影响,为此,该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.
其中.
(1)根据散点图判断,与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型?(给判断即可,不必说明理由)
(2)若用作为回归方程模型,根据表中数据,建立关于的回归方程;
(3)已知时段投入成本与的关系为,当时段控制温度为时,鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少?
附:①对于一组具有线性相关关系的数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
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【题目】合肥一中、六中为了加强交流,增进友谊,两校准备举行一场足球赛,由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣传画,要求画面面积为,画面的上、下各留空白,左、右各留空白.
(1)如何设计画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?
(2)设画面的高与宽的比为,且,求为何值时,宣传画所用纸张面积最小?
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【题目】刘徽是我国魏晋时期著名的数学家,他编著的《海岛算经》中有一问题:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直。从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合。从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合。问岛高几何?” 意思是:为了测量海岛高度,立了两根表,高均为5步,前后相距1000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,人恰观测到岛峰,从后表退行127步,也恰观测到岛峰,则岛峰的高度为( )(注:3丈=5步,1里=300步)
A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步
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【题目】已知下列命题:
①回归直线恒过样本点的中心,且至少过一个样本点;
②两个变量相关性越强,则相关系数就越接近于;
③对分类变量与,的观测值越小,“与有关系”的把握程度越大;
④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.则正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
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【题目】某研究性学习小组对昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系进行研究,下面是3月1日至5日每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数的详细记录:
(1)根据3月2日至3月4日的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数颗 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均小于2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?
参考公式:,.
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【题目】甲乙两地相距海里,某货轮匀速行驶从甲地运输货物到乙地,运输成本包括燃料费用和其他费用.已知该货轮每小时的燃料费与其速度的平方成正比,比例系数为,其他费用为每小时元,且该货轮的最大航行速度为海里/小时.
()请将该货轮从甲地到乙地的运输成本表示为航行速度(海里/小时)的函数.
()要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?
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【题目】已知函数f(x)=x(e+1)
(I)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(II)若函数g(x)=f(x)-ae-x,求函数g(x)在[1,2]上的最大值。
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