Question

16．过抛物线y=2x²的焦点F作倾斜角为120°的直线交抛物线于A、B两点，则弦|AB|的长为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标F（0，$\frac{1}{8}$），用点斜式设出直线方程与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．

解答 解：根据抛物线y=2x²方程得：焦点坐标F（0，$\frac{1}{8}$），
直线AB的斜率为k=tan120°=-$\sqrt{3}$，
由直线方程的点斜式方程，设AB：y-$\frac{1}{8}$=$-\sqrt{3}$x
将直线方程代入到抛物线方程当中，得：2x²+$\sqrt{3}$x$-\frac{1}{8}$=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根与系数的关系得：x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
x₁x₂=-$-\frac{1}{16}$．
y₁+y₂=$\frac{1}{4}$-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=$\frac{1}{4}+3$
弦长|AB|=$\sqrt{1+（-\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2•$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}$=2．
故选：A．

点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于难题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．