Question

【题目】某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题可知30=θ（10+x）+2（10﹣x），所以θ= ，x∈（0，10）
（2）解：花坛的面积为 θ（102﹣x2）=（5+x）（10﹣x）=﹣x2+5x+50（0＜x＜10），

装饰总费用为9θ（10+x）+8（10﹣x）=170+10x，

所以花坛的面积与装饰总费用之比为y= =﹣ ．

令t=17+x，t∈（17，27）则y= ﹣ （t+ ）≤ ﹣ = ，

当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ= ．

（若利用双勾函数单调性求最值的，则同等标准给分，但须说明单调性．）

故当x=1时，花坛的面积与装饰总费用之比最大

【解析】（1）根据扇形的周长公式进行求解即可．（2）结合花坛的面积公式，结合费用之间的关系进行求解即可．