Question

已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b（b≥

4

3

a）元/件时，可卖出c件．市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%，现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利利润．

Answer 1

分析：设销售价为x元/件，它比售价b元下降了10y%，根据x=b（1-10y%），可得10y%=

b-x

b

，从而可求出卖出c（1+40y%）=c+4c

b-x

b

，进而得利润函数L（x）=（x-a）（ c+4c

b-x

b

）=c（x-a）（5-

4

b

x），a＜x＜

5b

4

．利用求导的方法，可求函数L（x）的极大值点，而且也是最大值点．故得解．

解答：解：设销售价为x元/件，它比售价b元下降了10y%，
从而x=b（1-10y%），故10y%=

b-x

b

．
由题意此时可卖出m件，则m=c（1+40y%）=c+4c

b-x

b

，
从而利润L（x）=（x-a）（ c+4c

b-x

b

）=c（x-a）（5-

4

b

x），a＜x＜

5b

4

．
令L′（x）=-

8c

b

x+

4ac+5bc

b

=0，解得x=

4a+5b

8

当x∈（a，

4a+5b

8

）时，L′（x）＞0；当x∈（

4a+5b

8

，

5b

4

）时，L′（x）＜0．
因此x=

4a+5b

8

是函数L（x）的极大值点，也是最大值点．
所以，销售价为

4a+5b

8

元/件时，可获得最大利润．
答：销售价为

4a+5b

8

元/件时，可获得最大利润．

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查导数法的运用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．