Question

某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．（最佳使用年限佳是使年平均费用的最小的时间）

Answer 1

分析：设这台机器最佳使用年限是n年，则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为递增的等差数列，从而求出总费用，求出n年的年平均费用，利用基本不等式可求出最值和相应的n，从而求出所求．

解答：解：设这台机器最佳使用年限是n年，则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：
0.2+0.3+0.4+…+0.1（n+1）=

n2+3n

20

，
∴总费用为：7+0.2+0.2n+

n2+3n

20

=7.2+

n2+7n

20

，
n年的年平均费用为：y=

7.2+ n2+7n 20

n

=0.35+(

n

20

+

7.2

n

），
∵

n

20

+

7.2

n

≥2

7.2 20

=1.2，
当且仅当

n

20

=

7.2

n

即n=12时等号成立∴ymin=0.35+1.2=1.55(万元)
答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元

点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，以及基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，属于中档题．