Question

已知在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tanB=，
（I）求∠B；
（II）求函数f（x）=sinx+2sinBcosx，（x）的最小值及单调递减区间．

Answer 1

【答案】分析：（I）在锐角△ABC中，由tanB===，求得sinB的值，即可求得B的值．
（II）利用两角和差的正弦公式化简 函数f（x）的解析式2sin（x+），再根据正弦函数的定义域和值域求得它的最小值，令 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，
即可求得函数的减区间．
解答：解：（I）在锐角△ABC中，∵tanB===，∴sinB=，B=．
（II）∵函数f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+cosB=2sin（x+），x，∴x+∈[ ]，
故当x+=时，2sin（x+）取得最小值为 2×=1．
令 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z．
故函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈z．
点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域及其单调性，属于中档题．