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(本小题满分13分)
已知数列满足,且当时,,令
(Ⅰ)写出的所有可能的值;
(Ⅱ)求的最大值;
(Ⅲ)是否存在数列,使得?若存在,求出数列;若不存在,说明理由.
(1)的所有可能的值为:.(2)的最大值为;(3).
第一问中,根据题意可知当i=5时,满足条件的数列的所有可能情况有
,分别结算得到的值
第二问中,因为递推关系可知由
可设,则),
那么借助于累加法的思想得到数列的通项公式
第三问中,由(Ⅱ)可知,如果的前项中恰有的后项中恰有,则,可知分析得到结论。
解:(Ⅰ)由题设,满足条件的数列的所有可能情况有:
(1)此时;(2)此时
(3)此时;(4)此时
(5)此时;(6)此时
所以,的所有可能的值为:.       ……4分
(Ⅱ)由
可设,则),
因为,所以

因为,所以,且为奇数,是由
个1和构成的数列
所以

则当的前项取,后项取最大,
此时
证明如下:
假设的前项中恰有,则
的后项中恰有,其中

所以



所以的最大值为.                          ……9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,如果的前项中恰有的后项中恰有,则,若,则,因为是奇数,所以是奇数,而是偶数,因此不存在数列,使得.                                       ……13分
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