Question

设集合A={x|-2＜x＜-1}，B={x|y=lg

x-a

3a-x

，a≠0，a∈R}．
（1）当a=1时，求集合B；
（2）当A∪B=B时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入函数y=lg

x-1

3-x

，由真数大于0求解分式不等式得集合B；
（2）由真数大于0得到（x-a）（x-3a）＜0，分a＜0和a＞0求解一元二次不等式化简集合B，然后利用A⊆B，结合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，y=lg

x-1

3-x

，由

x-1

3-x

＞0，
解得：1＜x＜3，∴集合B={x|1＜x＜3}；
（2）∵A∪B=B，则A⊆B，
由

x-a

3a-x

＞0，得（x-a）（x-3a）＜0．
①当a＞0时，B=（a，3a），又已知集合A={x|-2＜x＜-1}，
显然不满足题意；
②当a＜0时，B=（3a，a），要使A⊆B，则

3a≤-2 a≥-1

，解得：-1≤a≤-

2

3

．
综上所述，所求a的取值范围是-1≤a≤-

2

3

．

点评：本题考查了对数函数的定义域的求法，考查了并集及其运算，训练了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是基础题．