Question

下列说法：
①函数f（x）=lnx+3x-6的零点只有1个且属于区间（1，2）；
②若关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；
③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；
④已知函数f（x）=log₂

a-x

1+x

为奇函数，则实数a的值为1．
正确的有

 

．（请将你认为正确的说法的序号都写上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：对于①，先判断函数f（x在（0，+∞）的单调性，再求出f（1），f（2）的符号，由零点存在定理，即可得到；
对于②，先考虑a=0，再对a≠0，考虑a＞0，且判别式△＜0，即可判断；
对于③，令f（x）=x-sinx，且f（0）=0，运用导数，确定f（x）的单调性，即可判断；
对于④，运用奇函数的定义，即可得到a的值．

解答： 解：对于①，函数f（x）=lnx+3x-6在（0，+∞）上是增函数，
且f（1）=ln1+3×1-6=-3＜0，f（2）=ln2+3×2-6=ln2＞0，由零点存在定理得，①正确．
对于②，当a=0时原不等式变形为1＞0，恒成立；当a≠0时，要使关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，
则a＞0，且△=（2a）²-4a×1＜0，解得0＜a＜1，综上可得关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立时，
a∈[0，1）．故②不正确．
对于③，令f（x）=x-sinx，且f（0）=0，f′（x）=1-cosx≥0，则f（x）在R上递增，则f（x）的零点个数为1，故③不正确．
对于④，由奇函数得：f(x)=-f(-x)，log2

a-x

1+x

=-log2

a+x

1-x

，

a-x

1+x

=

1-x

a+x

，即有a²-x²=1-x²，
a²=1，因为a≠-1，所以a=1．故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查函数的性质和应用，考查函数的奇偶性及运用，函数的零点及图象的交点问题，注意运用零点存在定理和函数的单调性解决，属于中档题．