Question

已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）已知数列{b_n}有bn=

n

an+1

求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n=2a_n-1+1（n≥2），a₄=15，代入计算，可求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）由a_n=2a_n-1+1（n≥2）得a_n+1=2（a_n-1+1），即可得到数列{a_n+1}是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：（Ⅰ）解：由a_n=2a_n-1+1（n≥2），及a₄=15，知a₄=2a₃+1得a₃=7
同理得a₂=3，a₁=1------（3分）
（Ⅱ）证明：由a_n=2a_n-1+1（n≥2）得a_n+1=2（a_n-1+1）
所以，数列{a_n+1}是首项为a₁+1=2，公比为2的等比数列
所以，an+1=(a1+1)×2n-1，
所以，数列{a_n}的通项公式为an=2n-1------（3分）
（Ⅲ）解：∵an=2n-1，∴bn=

n

an+1

=

n

2n

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
由①-②错位相减得：(1-

1

2

)Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

故：Sn=2-

1

2n-1

-

n

2n

------（4分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．