Question

已知函数f(x)=2sin(x-

π

3

)cosx+sinxcosx+

3

sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角，且f(B)=

3

，AC=4

3

，D是BC边上一点，AB=AD，试求AD+DC的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数，利用正弦函数的单调性，即可求f（x）在[0，π]内的单调递增区间；
（Ⅱ）先求出B，再表示出AD+DC，结合角C的范围，即可求AD+DC的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2(

1

2

sinx-

3

2

cosx)cosx+sinxcosx+

3

sin2x=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)
=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)．（2分）
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）．（3分）
取k=0，得-

π

12

≤x≤

5π

12

，又x∈[0，π]，则x∈[0，  

5π

12

]；（4分）
取k=1，得

11π

12

≤x≤

17π

12

，又x∈[0，π]，则x∈[

11π

12

，  π]．（5分）
∴f（x）在[0，π]上的单调递增区间是[0，  

5π

12

]，[

11π

12

，  π]．（6分）
（Ⅱ）由f(B)=

3

得sin(2B-

π

3

)=

3

2

．
又0＜B＜

π

2

，则-

π

3

＜2B-

π

3

＜

2π

3

，从而2B-

π

3

=

π

3

，
∴B=

π

3

．（8分）
在△ACD中，由正弦定理，得

AD

sinC

=

DC

sin( π 3 -C)

=

4 3

sin 2π 3

，
∴AD=8sinC，CD=8sin(

π

3

-C)，
则AD+DC=8sinC+8sin(

π

3

-C)=8(sinC+

3

2

cosC-

1

2

sinC)=8(

3

2

cosC+

1

2

sinC)=8sin(C+

π

3

)．
∵∠ADC=

2π

3

，
∴0＜C＜

π

3

，

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，
当C+

π

3

=

π

2

，即C=

π

6

时，AD+DC取得最大值8．（12分）

点评：本题考查三角函数的性质，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，正确化简函数是关键．