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【题目】已知函数f(x)=f'(1)ex1﹣f(0)x+ 的导数,e为自然对数的底数)g(x)= +ax+b(a∈R,b∈R)
(Ⅰ)求f(x)的解析式及极值;
(Ⅱ)若f(x)≥g(x),求 的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由已知得:f′(x)=f′(1)ex1﹣f(0)+x,令x=1,得:f′(1)=f′(1)﹣f(0)+1,
即f(0)=1,
∵f(0)=
∴f′(1)=e,
从而f(x)=ex﹣x+ x2
∴f′(x)=ex+x﹣1,
又f′(x)=ex+x﹣1在R递增,且f′(0)=0,
∴当x<0时,f′(x)<0,x>0时,f′(x)>0,
故x=0为极值点,
∴f(0)=
(Ⅱ)f(x)≥ x2+ax+bh(x)=ex﹣(a+1)x﹣b≥0,
得:h′(x)=ex﹣(a+1),
①当a+1≤0时,h′(x)>0,
故y=h(x)在x∈R上递增,
x∈﹣∞时,h(x)→﹣∞与h(x)≥0矛盾,
②当a+1>0时,h′(x)>0,
∴x>ln(a+1),h′(x)<0,
∴x<ln(a+1),
故x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣b≥0,
即(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)≥b,
∴(a+1)b≤(a+1)2﹣(a+1)2ln(a+1),(a+1>0),
令F(x)=x3﹣x2lnx(x>0),则F′(x)=x(1﹣2lnx),
∴F′(x)>0,解得:0<x< ,F′(x)<0,解得:x>
x= 时,F(x)max=
即当a= ﹣1,b= 时,
(a+1)b的最大值为
的最大值为:
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,求出f′(1)=e,求出函数的导数,得到函数的单调性求出f(0)的值即可;(Ⅱ)令h(x)=ex﹣(a+1)x﹣b≥0,求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,求出 的最大值即可.
【考点精析】通过灵活运用基本求导法则和函数的极值与导数,掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.

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④函数y=sin2x+cos2x在[0, ]上的单调递增区间为[0, ].
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B.1
C.2
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B.必要非充分条件
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