精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知⊙O的直径为10,AB是⊙O的一条直径,长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动(异于A、B两点).
(Ⅰ)求证:数学公式数学公式与点P在⊙O上的位置无关;
(Ⅱ)当数学公式数学公式的夹角θ取何值时,数学公式数学公式有最大值.

证明:(Ⅰ)∵AB为⊙O的直径,P为圆上一点,∴AP⊥BP,
,则
∵P为MN的中点,且=20,∴=
=(+)(+)=(-)(+
=+--
=-)-100=-100,
仅与的夹角有关,而与点P在⊙O上的位置无关;
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
=-100=100cosθ-100,
∵0≤θ<π,∴当θ=0时,取最大值为0.
分析:(Ⅰ)由AB为⊙O的直径得,利用向量的加法和减法运算来表示,由向量数量积的运算和条件进行化简;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)化简的结果和向量夹角的范围,求出夹角的余弦值的最大值代入,求出两个向量数量积的最大值.
点评:本题考查了利用向量的线性运算和数量积运算,进行向量式子的求值和求解,主要根据图形的特点和条件进行转化,进而利用条件和夹角的范围求出式子的值.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知⊙O的直径为10,AB是⊙O的一条直径,长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动(异于A、B两点).
(Ⅰ)求证:
AM
BN
与点P在⊙O上的位置无关;
(Ⅱ)当
MN
AB
的夹角θ取何值时,
AM
BN
有最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知⊙O的直径为10,AB是⊙O的一条直径,长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动(异于A、B两点).
(Ⅰ)求证:
AM
BN
与点P在⊙O上的位置无关;
(Ⅱ)当
MN
AB
的夹角θ取何值时,
AM
BN
有最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:0106 月考题 题型:解答题

已知⊙O的直径为10,AB是⊙O的一条直径,长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动(异于A、B两点)。
(Ⅰ)求证:与点P在⊙O上的位置无关;
(Ⅱ)当的夹角取何值时,有最大值。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一(下)月考数学试卷(必修4)(解析版) 题型:解答题

已知⊙O的直径为10,AB是⊙O的一条直径,长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动(异于A、B两点).
(Ⅰ)求证:与点P在⊙O上的位置无关;
(Ⅱ)当的夹角θ取何值时,有最大值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案