Question

已知⊙O的直径为10，AB是⊙O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动（异于A、B两点）．
（Ⅰ）求证：•与点P在⊙O上的位置无关；
（Ⅱ）当与的夹角θ取何值时，•有最大值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵AB为⊙O的直径，P为圆上一点，∴AP⊥BP，
∴，则，
∵P为MN的中点，且=20，∴=，，
∴•=（+）（+）=（-）（+）
=•+•-•-•
=（-）-100=•-100，
∴•仅与•的夹角有关，而与点P在⊙O上的位置无关；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
•=•-100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴当θ=0时，•取最大值为0．
分析：（Ⅰ）由AB为⊙O的直径得，利用向量的加法和减法运算来表示•，由向量数量积的运算和条件进行化简；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）化简的结果和向量夹角的范围，求出夹角的余弦值的最大值代入，求出两个向量数量积的最大值．
点评：本题考查了利用向量的线性运算和数量积运算，进行向量式子的求值和求解，主要根据图形的特点和条件进行转化，进而利用条件和夹角的范围求出式子的值．