Question

已知函数f（x）=e^x-ax-2．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，m为整数，且x＞0时，不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0恒成立，求m的最大值．（可能用到的参数考数据：e=2.718，e²=7.389，e³=20.086）

Answer 1

【答案】分析：（1）对f（x）进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性；
（2）把a=1代入f（x），因为不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0，可得（m+1-x）（e^x-1）+m-2-2x＜0，再利用分离变量法进行求解；
解答：解：（1）函数f（x）=e^x-ax-2，
f′（x）=e^x-a，若a≤0，则f′（x）＞0，
f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
若a＞0，则x∈（-∞，lna）时，f′（x）＞0；
当x∈（lna，+∞）上单调递减，在（-∞，lna）上单调递增，
（2）a=1，m为整数，且x＞0时，不等式（m+1-x）f（x）+m-2-2x＜0恒成立，
可得（m+1-x）（e^x-1）+m-2-2x＜0，分离变量得，m＜x-1+
令g（x）=x-1+，x∈（0，+∞），
g′（x）=，
令g（x）=x-1+，x∈（0，+∞），g′（x）=，
令h（x）=e^x-x-2，x∈（0，+∞），
由（1）可知h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又h（1）=e-3＜0，h（）=e²-＞0，
∴必存在x∈（1，），使h（x）=0，
当x∈（0，x）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为单调递减，
∴g（x）_min=g（x）=x-1+，
∵x是方程e^x-x-2=0的根，
∴e^x=x+2，
∴g（x）_min=x-1+=x-1+=，
令m（x）=，x∈（1，），m′（x）=
∴m（x）在（1，）上单调递减，
∴m（x）∈（，），即g（x）_max∈（，），
∴m的最大值为1．
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，解题的过程中用到常数分离法进行求解，是一道中档题；