Question

9．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的等边三角形，AA₁⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC₁，BB₁上的点，且EC=B₁F=2FB．
（1）证明：平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AA₁=3，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设FB=a，则EC=B₁F=2a，运用勾股定理，分别求出AF，EF，可得△AEF为等腰三角形，取AE的中点G，连接FG，取AC的中点M，连接MG，运用平行四边形的判定和性质，证得FG⊥AC，FG⊥平面ACC₁A₁，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）分别求得三角形AEF和三角形BEF的面积，取BC的中点H，可得AH⊥BC，证得AH⊥平面B₁BCC₁，过B作BO⊥平面AEF，垂足为O，连接AO，可得∠BAO为直线AB与平面AEF所成角，设BO=d，由V_B-AEF=V_A-BEF，运用棱锥的体积公式，计算可得d，再由正弦函数的定义，即可得到所求值．

解答 解：（1）由EC=B₁F=2FB，设FB=a，
则EC=B₁F=2a，
在直角三角形ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}+F{B}^{2}}$=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，
在直角梯形FBCE中，EF=$\sqrt{4+（2a-a）^{2}}$=AF，
则△AEF为等腰三角形，
取AE的中点G，连接FG，可得FG⊥AE，
取AC的中点M，连接MG，可得MG∥EC，MG=$\frac{1}{2}$EC=a，
即有MG=FB，可得四边形FBMG为平行四边形，
即有FG∥BM，
BM⊥AC，可得FG⊥AC，
AE∩AC=A，且AE，AC?平面ACC₁A₁，
可得FG⊥平面ACC₁A₁，又FG?平面AEF，
则平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）由AA₁=3，可得FB=1，EC=B₁F=2，
AF=EF=$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
△AEF的面积为S_△AEF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{6}$，
△BEF的面积为S_△BEF=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
取BC的中点H，可得AH⊥BC，
AA₁⊥底面ABC，可得AA₁⊥AH，
AA₁∥BB₁，可得BB₁⊥AH，
则AH⊥平面B₁BCC₁，且AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
过B作BO⊥平面AEF，垂足为O，连接AO，
可得∠BAO为直线AB与平面AEF所成角，
设BO=d，
由V_B-AEF=V_A-BEF，
可得$\frac{1}{3}$d•S_△AEF=$\frac{1}{3}$AH•S_△BEF，
即为d=$\frac{\sqrt{3}×1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则sin∠BAO=$\frac{d}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
即有直线AB与平面AEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，注意运用转化思想，运用线面垂直的判定，考查直线和平面所成角的正弦值，注意运用等积法，考查运算能力，属于中档题．