Question

已知奇函数函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，
（1）求f（-2）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）求证：函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数f（x）为奇函数，x＞0时，，能求出f（-2）．
（2）设x＜0，则-x＞0，故，再由函数f（x）为奇函数，能求出x＜0时，f（x）的解析式．
（3）任意0＜x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）=，能证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
解答：解：（1）∵函数f（x）为奇函数，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
x＞0时，
∴…（4分）
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴…（6分）
∵函数f（x）为奇函数
∴当x＜0时，…（9分）
（3）证明：任意0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-+1-（-+1）
==．
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上为增函数．
点评：本题考查函数函数值的求法，考查函数解析式的求法，考查函数单调性的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．