Question

在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中5个项目的比赛．已知该运动员在这5个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是0.8，那么在本次运动会上：
（Ⅰ）求该运动员至少能打破3项世界纪录的概率；
（Ⅱ）若该运动员能打破世界纪录的项目数为ξ，求ξ的数学期望Eξ（即均值）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于某运动员报名参加了其中5个项目的比赛，且个项目能打破世界纪录的概率都是0.8，我们分析“该运动员至少能打破3项世界纪录”这个事件中的所有情况，然后代入等可能性事件概率公式，即可求出该运动员至少能打破3项世界纪录的概率；
（Ⅱ）由（1）可知，该运动员打破每一项世界纪录的概率都为0.8，故可得答案．

解答：解：（Ⅰ）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，
并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，
“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有（2分）
P（A）=P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）（4分）
=C₅³0.8³×0.2²+C₅⁴0.8⁴×0.2+C₅⁵0.8⁵（6分）
=0.94208．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）解答可知，ξ～B（5，0.8），故所求数学期望为
Eξ=5×0.8=4．（12分）

点评：本题考查的要点有：①互斥事件的概率加法公式②等可能性事件数学期望．