Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其左、右两焦点分别为F₁、F₂．直线L经过椭圆C的右焦点F₂，且与椭圆交于A、B两点．若A、B、F₁构成周长为4

2

的△ABF₁，椭圆上的点离焦点F₂最远距离为

2

+1，且弦AB的长为

4 2

3

，求椭圆和直线L的方程．

Answer 1

依题意，设该椭圆的焦距为2c，
则

4a=4 2 a+c= 2 +1 a2=b2+c2

，
解得a=

2

，b=c=1，
所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1，
由题意可设直线L的方程为y=k（x-1），
联立直线与椭圆方程得到

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，
整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
若A，B两点的横坐标为x₁，x₂，
则

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

（*），
△=16k⁴-8（k²-1）（1+2k²）＞0，
又由弦AB的长为

4 2

3

，
则

[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2)

=

4 2

3

将（*）式代入得k²=1，即k=±1
所以所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1，直线方程为y=x-1或y=-x+1．