Question

9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\frac{sinA+sinB}{c}$=$\frac{\sqrt{2}sinB-sinC}{b-a}$．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，求$\frac{b}{c}$的范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知的式子后，由余弦定理求出cosA的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；
（2）由（1）和内角和定理表示出B，由锐角三角形的条件列出不等式组，求出C的范围，由正弦定理、两角差的正弦公式、商的关系化简$\frac{b}{c}$后，由正切函数的图象与性质求出答案．

解答 解：（1）由题意知，$\frac{sinA+sinB}{c}=\frac{\sqrt{2}sinB-sinC}{b-a}$，
由正弦定理得，$\frac{a+b}{c}=\frac{\sqrt{2}b-c}{b-a}$，
化简得，${b}^{2}-{a}^{2}=\sqrt{2}bc-{c}^{2}$，
即${b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=\sqrt{2}bc$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜A＜π，则A=$\frac{π}{4}$；
（2）由（1）得A=$\frac{π}{4}$，又A+B+C=π，则B=$\frac{3π}{4}$-C，
因为△ABC是锐角三角形，
所以$\left\{\begin{array}{l}{0＜C＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{3π}{4}-C＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{4}＜C＜\frac{π}{2}$，
由正弦定理得，$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{sin（\frac{3π}{4}-C）}{sinC}$
=$\frac{sin\frac{3π}{4}cosC-cos\frac{3π}{4}sinC}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}cosC+\frac{\sqrt{2}}{2}sinC}{sinC}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{tanC}+1）$，
由$\frac{π}{4}＜C＜\frac{π}{2}$得，tanC＞1，即$0＜\frac{1}{tanC}＜1$，
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{tanC}+1）＜\sqrt{2}$，
即$\frac{b}{c}$的范围是$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}）$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，两角差的正弦公式，内角和定理，商的关系等，以及正切函数的图象与性质，考查转化思想，化简、变形能力．