Question

已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G(如图)，将此三角形沿DE折成二面角--DE--B．

(Ⅰ)求证：平面⊥平面BCED；

(Ⅱ)当二面角--DE--B的余弦值为多少时，异面直线与BD互相垂直？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：∵△ABC是正三角形，AF是BC边中线， 　　∴AF⊥BC． 　　∵D、E分别是AB、AC的中点， 　　∴DE∥BC，∴AF⊥DE． 　　又AF∩DE＝G， 　　∴＝G，∴DE⊥平面． 　　又DE平面DECB， 　　∴平面⊥平面DECB． 　　(Ⅱ)解：∵⊥DE，GF⊥DE， 　　∴的平面角． 　　∵平面， 　　∴⊥平面BCED． 　　设⊥BD，连结EO并延长交AD于H， 　　∴EH⊥AD． 　　∵AG⊥DE， 　　∴O是正三角形ADE的垂心也是中心． 　　∵AD＝DE＝AE＝， 　　∴ 　　在 　　∵ 　　∴ 　　即当与BD互相垂直．