Question

(本小题满分12分）

已知函數f(x)＝ln＋mx²（m∈R）

(I)求函数f(x)的单调区间；

(II)若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)

在上单调递增,在上单调递减.

(Ⅱ) .

【解析】

试题分析：(Ⅰ)f(x)的定义域为， …………2分

时，>0, 在上单调递增;

时，<0, 在上单调递减.

综上所述：

在上单调递增,在上单调递减.

……………5分

(Ⅱ) 依题意，设，不妨设，

则恒成立，…………6分

,则恒成立，

所以恒成立，

令……………8分

则g(x)在为增函数，

所以，对恒成立，…………10分

所以，对恒成立，

即，对恒成立，

因此.……………12分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，二次函数的图象和性质。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”，本题最终化为二次函数最值问题，体现考题“起点高，落点低”的特点。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。