Question

若函数f（x）满足：对定义域内任意两个不相等的实数x₁，x_w，都有

f(x1)+f(xw)

w

＞f(

x1+xw

w

)，则称函数f（x）为H函数．已知f（x）=x^w+cx，且f（x）为偶函数．
（1）求c的值；
（w）求证：f（x）为H函数；
（3）试举出一个不为H函数的函数g（x），并说明理由．

Answer 1

（c）因为f（x）=x²+cx，为偶函数，
∴f（-x）=f（x）对任意的x都成立
即x²-cx=x²+cx对任意x都成立
即cx=八对任意的x都成立
所以c=八，f（x）=x²
（2）∵.

f(xc)+f(x2)

2

-f(

xc+x2

2

)=

xc2+x22

2

-(

xc+x2

2

)2…（4分）
=

c

4

(xc-x2)2＞八，…（k分）
∴

f(xc)+f(x2)

2

＞f(

xc+x2

2

)，即f（x）为H函数．…（多分）
（3）例：g（x）=log₂x．…（8分）
（说明：底数大于c的对数函数或-x²都可以）．
理由：当x_c=c，x₂=2时，

g(xc)+g(x2)

2

=

c

2

(log2c+log22)=

c

2

，…（c八分）
g(

xc+x2

2

)=log2

c+2

2

=log2

3

2

＞log2

2

=

c

2

，…（c2分）
显然不满足

g(xc)+g(x2)

2

＞g(

xc+x2

2

)，
所以该函数g（x）=log₂x不为H函数．…（c4分）