Question

3．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+2lnx（a∈R）在x=1时取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f′（1）=0，求出a的值即可；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x-a+$\frac{2}{x}$，
当x=1时取得极值，则f′（1）=0，
即：1-a+2=0，解得：a=3，
经检验，符合题意．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，
∴f′（x）=x-3+$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）＞0解得：0＜x＜1或x＞2，令f′（x）＜0解得：1＜x＜2，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞）；单调递减区间为（1，2）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．