Question

(2007江苏，21)已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，．方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g[f(x)]=0的根；反之，g[f(x)]=0的实数根都是f(x)=0的根．

(1)求d的值；

(2)若a=0，求c的取值范围；

(3)若a=1，f(1)=0，求c的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)设r为方程的一个根，即f(r)=0，则由题设得g[f(r)]=0． 于是g(0)=g[f(r)]=0， 即g(0)=d=0．所以d=0． (2)由题意及(1)知，． 由a=0得b、c是不全为零的实数， 且，则g[f(x)]=x(bx＋c)[bx(bx＋c)＋c] ． 方程f(x)=0就是．　　　　　　　　　① 方程g[f(x)]=0就是．　　② (i)当c=0时，b≠0，方程①②的根都为x=0，符合题意． (ii)当c≠0，b=0时，方程①②的根都为x=0，符合题意． (iii)当c≠0，b≠0时，方程①的根为，， 它们也都是方程②的根，但它们不是方程的实数根． 由题意，方程无实数根，此方程根的判别式，得0＜c＜4． 综上所述，所求c的取值范围为[0，4)． (3)由a=1，f(1)=0得 b=－c，， ．　　　　　　　　　　　　　　　　③ 由f(x)=0可以推得g[f(x)]=0，知方程f(x)=0的根一定是方程g[f(x)]=0的根． 当c=0时，符合题意． 当c≠0时，b≠0，方程f(x)=0的根不是方程　　④的根，因此，根据题意，方程④应无实数根，那么当，即0＜c＜4时，，符合题意． 当，即c＜0或c≥4时，由方程④得 ， 即，　　⑤ 则方程⑤应无实数根，所以有且． 当c＜0时，只需，解得，矛盾，舍去． 当c4时，只需，解得． 因此，． 综上所述，所求c的取值范围为．

提示：

剖析：本题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力．