Question

若在区间[1，6]和[1，4]各取一个数，分别记为a，b，则方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦点在x轴上，且离心率小于

2 2

3

的椭圆的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,概率与统计

分析：表示焦点在x轴上且离心率小于

2 2

3

的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，6]和[1，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．

解答： 解：∵方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦点在x轴上，且离心率小于

2 2

3

的椭圆，
∴a＞b＞0，

c

a

＜

2 2

3

，∴a＜3b，
它对应的平面区域如图中阴影部分所示：
则方程方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦点在x轴上，且离心率小于

2 2

3

的椭圆的概率为
P=

S阴影

S矩形

=

5×3- 1 2 ×3×3- 1 2 ×3×1

5×3

=

3

5

故答案为：

3

5

．

点评：本题考查了几何概型的运用；几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．