Question

已知点A（1，1）是椭圆上一点， F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足.

   （1）求椭圆的两焦点坐标；

   （2）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；

   （3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由。

Answer 1

解：（I）由椭圆定义知：，

把（1，1）代入得

，则椭圆方程为，

，

故两焦点坐标 为  ………………4分

   （II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（，），

此时取椭圆上一点，则

从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立。 …………8分

   （III）设AC方程为：

    联立 

消去得 

∵点A（1，1）在椭圆上

   ………………10分

∵直线AC、AD倾斜角互补

∴AD的方程为

同理   ………………11分

又，，

所以

即直线CD的斜率为定值 ………………13分