Question

已知函数f（x）=

3

cosxsinx+cos²x+cos2x．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且锐角B满足f（B）=

1

2

，A=

π

4

，b=2，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（I）化简解析式f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+

1

2

，从而可求函数f（x）的最小正周期．
（II）由f（B）=

3

sin（2B+

π

3

）+

1

2

=

1

2

，整理可得B的值，由正弦定理可得a的值．

解答： 解：（I）∵f（x）=

3

cosxsinx+cos²x+cos2x=

3

sin（2x+

π

3

）+

1

2

∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
（II）∵f（B）=

3

sin（2B+

π

3

）+

1

2

=

1

2

，整理可得：sin（2B+

π

3

）=0，可得2B+

π

3

=kπ，k∈Z，
∴B=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
∵B为锐角，
∴可得B=

π

3

，
∴由正弦定理可得：a=

bsinA

sinB

=

2× 2 2

3 2

=

2 6

3

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．