Question

三棱锥S—ABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时V_S—ABC最大，并求最大值.

Answer 1

a为时，三棱锥的体积最大为

 方法一 如图所示，
设SC=a，其余棱长均为1，
取AB的中点H，连接HS、HC，
则AB⊥HC，AB⊥HS，
∴AB⊥平面SHC.
在面SHC中，过S作SO⊥HC，则SO⊥平面ABC.
在△SAB中，SA=AB=BS=1，
∴SH=，
设∠SHO=，则SO=SHsin=sin，
∴V_S—ABC=S_△ABC·SO
=××1²×sin
=sin≤.
当且仅当sin=1，即=90°时，三棱锥的体积最大.
a=SH=×=，V_max=.
∴a为时，三棱锥的体积最大为.
方法二 取SC的中点D，可通过V_S—ABC=S_△ABD·SC，转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.