Question

[选做题]
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+

3

sinθ)=2的距离为d，求d的最大值．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c为正数且a+b+c=1，求证：(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2≥

100

3

．

Answer 1

分析：A．由切割线定理，得到PA²=PD•BD，从而有AE=PA=3，再用弦切角得到∠PAE=∠ABC=60°，可得△PAE是边长为3的等边三角形．然后在在△ADE中利用余弦定理，算出得AD=

7

，最后利用△AED∽△BEC，由对应边成比例得到BC=2AD=2

7

．
B．（I）设M=

a c

，利用矩阵乘法的法则，结合题意列出关于a、b、c、d的方程组并解之，可得矩阵M，再用二阶矩阵逆矩阵的公式，可算出矩阵M的逆矩阵M^-1；
（II）设l上的点（x，y）被M变换为m上的点（x'，y'），根据矩阵变换的公式找到用x、y表示x'、y'的式子，再将此对应的点的坐标代入直线m方程，化简整理即得直线l的方程．
C．圆ρ=3化成普通方程：x²+y²=9，直线ρ(cosθ+

3

sinθ)=2的普通方程为x+

3

y-2=0．设圆上的点A（3cosα，3sinα），利用点到直线的距离公式结合正弦函数的最值，可算出圆上的点到直线距离的最大值．
D．将不等式左边变形后，利用柯西不等式，再将a+b+c=1代入，将所得不等式再整理，即得要证明的不等式恒成立．

解答：A．解：∵PA是⊙O的切线，∴PA²=PD•BD，
∵PB=PD+BD=1+8=9，∴PA²=1×9=9，可得PA=3，AE=PA=3，
∵PA是⊙O的切线，∴∠PAE=∠ABC=60°，可得△PAE是边长为3的等边三角形
连接AD，在△ADE中，AE=3，DE=2，得AD=

AE2+DE2-2•AE•DEcos60°

=

7

又∵圆中△AED∽△BEC，
∴

AD

BC

=

AE

BE

=

1

2

，可得BC=2AD=2

7

B．解：（Ⅰ）设M=

a c

，则有

a c

 

1 -1

=

-1 -1

，

a c

-2 1

=

0 -2

，
所以

a-b=-1 c-d=-1

，且

-2a+b=0 -2c+d=-2

，解得

a=1 b=2 c=3 d=4

所以M=

1 3

，从而M^-1=

-2 3 2

（Ⅱ）因为

x′ y′

=

1 3

，所以

x′=x+2y y=3x+4y

∵l在变换M作用下得到了直线m：2x'-y'=4，
∴代入得：2（x+2y）-（3x+4y）=4，化简得x+4=0，
∴直线l的方程方程为x+4=0
C．解：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x²+y²=9
直线ρ(cosθ+

3

sinθ)=2可化为x+

3

y-2=0
在x²+y²=9上任取一点A（3cosα，3sinα），则
点A到直线的距离为d=

|3cosα+3 3 sinα-2|

2

=

|6sin(α+ π 6  )-2|

2

，
当sin（α+

π

6

）=-1时，d的最大值为4．
D．证明：左边=

1

3

(12+12+12)[(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2]
≥

1

3

[1×(a+

1

a

)+1×(b+

1

b

)+1×(c+

1

c

)]2=

1

3

[1+(

1

a

+

1

b

+

1

c

)]2=

1

3

[1+(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)]2
∵a+b+c=1，可得(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

) ≥(a•

1

a

+b•

1

b

+c•

1

c

)=9
∴原不等式的左边≥

1

3

(1+9)2=

100

3

，即不等式(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2≥

100

3

成立．

点评：本题以平面几何证明、矩阵及矩阵变换、参数方程与极坐标和不等式选讲为载体，考查了同学们对数学选修知识的理解与掌握情况，属于中档题．