Question

先阅读下列不等式的证法：
已知a₁，a₂∈R，a₁²+a₂²=1，求证：|a₁+a2|≤

2

．
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，则f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂）²-8≤0，故得|a₁+a2|≤

2

．
再解决下列问题：
（1）若a₁，a₂，a₃∈R，a₁²+a₂²+a₃²=1，求证|a₁+a2+a3|≤

3

；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+（x-a₃）² ，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以，△≤0，故得|a₁+a₂+a3|≤

3

．
（2）推广：若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁²+a₂²+…+a_n²=1，则|a₁+a₂+…+an|≤

n

．构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△≤0，可得|a1+a2+…+an|≤

n

．

解答：解：（1）证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+（x-a₃）²（2分）
则f（x）=3x²-2（a₁+a₂+a₃）x+a₁²+a₂²+a₃²=3x²-2（a₁+a₂+a₃）x+1（2分）
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂+a₃）²-12≤0，
故得|a₁+a₂+a3|≤

3

．      （2分）
（2）推广：若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁²+a₂²+…+a_n²=1，则|a₁+a₂+…+an|≤

n

．   （2分）
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²，
则f（x）=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+1．
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂+…+a_n）²-4n≤0，
故得|a1+a2+…+an|≤

n

．      （2分）

点评：本题考查利用构造法、综合法证明不等式，构造二次函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²，是解题的关键和难点，是一道难题．