Question

已知正数x、y满足x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．
解：∵x+2y=1且x、y＞0，
∴

1

x

+

1

y

=(

1

x

+

1

y

)(x+2y)≥2

1 xy

•2

2xy

=4

2

，
∴(

1

x

+

1

y

)min=4

2

，
判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．

Answer 1

分析：在题中所给的解法中，解答过程中两次利用基本不等式，两次的等号不能同时取得，结果取不到等号．由此得到正确的解法，已知条件是一个整式等式，求得式子是分式形式，将分式乘以整式再展开，利用基本不等式求出最值，注意等号是否能取到．

解答：解：错误．
∵

1

x

+

1

y

≥2

1 xy

；等号当且仅当x=y时成立，又∵x+2y≥2

2xy

；等号当且仅当x=2y时成立，而①②的等号同时成立是不可能的．
正确解法：因为x＞0，y＞0，且x+2y=1，∴

1

x

+

1

y

=

x+2y

x

+

x+2y

y

=3+

2y

x

+

x

y

≥3+2

2y x • x y

=3+2

2

，当且仅当

2y

x

=

x

y

即x=

2

y，又x+2y=1，
∴这时

x= 2 -1 y= 2- 2 2

点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值时，要注意需要考虑的条件：一正；二定；三相等．