Question

一同学为研究函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），则推知函数g（x）=5f（x）-11的零点的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．4

Answer 1

分析：由题意可得函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，可得f（x）的最小值为

5

＞

11

5

，由于函数g（x）=5f（x）-11的零点的个数，就是方程 f（x）=

11

5

的解的个数，从而得出结论．

解答：解：由题意可得函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，
当A、P、F共线 时，f（x）取得最小值为

5

＞

11

5

，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为

2

+1＞

11

5

．
g（x）=5f（x）-11=0，即 f（x）=

11

5

．
由题意可得，函数g（x）=5f（x）-11的零点的个数，就是方程 f（x）=

11

5

的解的个数．
再由f（x）的最小值为

5

＞

11

5

，可得方程 f（x）=

11

5

无解，
故选A．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．