Question

曲线N：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离为．
（1）求曲线N；
（2）过点T（-1，0）作直线l与曲线N交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E（x，0），使得△ABE是等边三角形，若存在，求出x；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的定义可知点F（，0）为抛物线的焦点，x=-为其准线，设出抛物线的方程，根据焦点坐标求得p，则抛物线方程可得．
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x轴上存在满足条件的点Ex，0），再利用△ABC为正三角形，求出AB，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（1）据抛物线的定义可知点F（，0）为抛物线的焦点，x=-为其准线，
∴p=，
∴曲线N：y²=x（3分）
（2）依题意知，直线的斜率存在，且不等于0．
设直线l：y=k（x+1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由消y整理，得k²x²+（2k²-1）x+k²=0①
由直线和抛物线交于两点，得△=（2k²-1）²-4k⁴=-4k²+1＞
0即②（5分）
由韦达定理，得：，x₁x₂=1．
∴
则线段AB的中点为．（8分）
线段的垂直平分线方程为：
令y=0，得，则（10分）
∵△ABE为正三角形，
∴到直线AB的距离d为．（11分）
又∵=
∴
解得满足②式（13分）
此时．（14分）
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系，抛物线的标准方程．考查了学生分析问题和运算能力的．