Question

【题目】如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为 ，求CE的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，

在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，

由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BCCC1cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，

所以B1C= ，

故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，

又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线

为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0， ），B1（﹣1，0， ）

， ，令 ，∴ ，

，

设平面AB1E的一个法向量为 ．

，令z= ，则x= ，y= ，

∴ ，．∵AB⊥平面BB1C1C， 是平面的一个法向量，

|cos＜ ＞|= ，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或 ．

∴CE=CC1=2或CE= CC1=3．

【解析】（Ⅰ）证直线垂直于平面，通过证明平面内有两条相交的直线与所给直线垂直；（Ⅱ）利用向量求二面角的平面角思路比较简单清晰，但是计算时需要认真并有良好的运算习惯.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．