Question

已知向量a(

3

cosωx，sinωx)，b（sinωx，0），且ω＞0，设函数f（x）=（a+b）•b+k．
（1）若f（x）的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，求ω的取值范围．
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-

π

6

，

π

6

]时，f（x）的最大值是2，求就k的值．

Answer 1

分析：由

a

和

b

的坐标求出

a

+

b

的坐标，进而利用平面向量的数量积运算法则算出（

a

+

b

）•

b

的值，把f（x）的解析式变形，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，从而利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的周期，根据f（x）的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，得到周期的一半大于等于

π

2

，再由ω＞0即可求出ω的取值范围；
（2）由f（x）的最小正周期为π求出ω的值，代入f（x）的解析式，根据x的范围求出2x-

π

6

范围，根据正弦函数的图象与性质得到f（x）取得最大值时x的值，把求出x的值及f（x）的最大值为2代入f（x）解析式，即可求出k的值．

解答：解：∵

a

(

3

cosωx，sinωx)，

b

（sinωx，0），
∴

a

+

b

=（

3

cosωx+sinωx，sinωx），
∴f（x）=

3

sinωxcosωx+sin²ωx+k
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

+k
=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

+k，
（1）由题意得：T=

2π

2ω

=

π

ω

，
∴

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1，又ω＞0，
则ω的取值范围0＜ω≤1；
（2）∵T=π，∴

π

ω

=π，即ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

+k，
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]，
则当2x-

π

6

=

π

6

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值，
∴f（

π

6

）=2，及sin（2×

π

6

-

π

6

）+

1

2

+k=2，
解得：k=1．

点评：此题考查了三角函数的恒等变形，平面向量的数量积运算，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的图象与性质，其中利用三角函数的恒等变换及平面向量的数量积运算法则把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．