Question

如图所示，平面内有向量=(1，7)，=?(5，1)，=(2，1)，点M为直线OP上的一动点.

(1)当取最小值时，求的坐标；

(2)当点M满足(1)的条件和结论时，求∠AMB的值.

Answer 1

思路分析：因为点M在直线OP上，向量与共线，可以得到关于OM坐标的一个关系式，再根据的最小值，求得，而cos∠AMB是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决.

解：(1)设=(x，y)，∵点M在直线OP上，

∴向量与共线.

又=(2，1)，

∴x·1－y·2=0,即x=2y.∴=(2y，y).

又，=(1，7)，

∴=(1－2y，7－y).

同理=(5－2y，1－y).

于是=(1－2y)(5－2y)+(7－y)(1－y)=4y²－12y+5+y²－8y+7=5y²－20y+12.

由二次函数的知识，可知当时，有最小值－8，此时=?(4，2).

(2)当=(4，2)，即y=2时，有=(－3，5)，=(1，－1)，||=34，||=2，

=(－3)×1+5×(－1)=－8，

∴cos∠AMB=，

即∠AMB=arccos().

深化升华 对于向量与最值有关的问题，往往是先选取适当的变量，建立关于取定变量的目标关系式(或函数关系式)，通过求最值的基本方法求解.如转化成二次函数，或三角函数问题等.也可以利用向量的几何意义求最值.在求向量的夹角时，要注意两个向量的方向性.