【题目】已知,函数.
(1)当时,写出的单调递增区间(不需写出推证过程);
(2)当时,若直线与函数的图象相交于两点,记,求的最大值;
(3)若关于的方程在区间上有两个不同的实数根,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)4;(3)
【解析】
(1)当时,,由此能求出的单调递增区间;
(2)由,得当时,的图象与直线没有交点;当 或 时,y=f(x)的图象与直线只有一个交点;当时,;当时,由,得,由,得,由此能求出的最大值;
(3)要使关于x的方程有两个不同的实数根,则,且,根据,且进行分类讨论能求出的取值范围.
(1)当时,
在和单调递增
(2)因为x>0,所以
(ⅰ)当a>4时,,函数的 ,
函数的图像与直线y=4没有交点;
(ⅱ)当a=4时, ,函数的最小值是4,
的图象与直线只有一个交点;
当时, 与有1个交点,交点坐标,不满足条件;
(ⅲ)当0<a<4时,
即
,
,
;
(ⅳ)当a<0时,如图:
由
得,
解得;
由,
得
解得.
所以.
综上:的最大值是4.
(Ⅲ)要使关于的方程 (*)
当时,去绝对值得,解得,不成立,舍;
当时,去绝对值 ,
化简为:,不成立,舍;
当时,,,也不成立,舍;
.
(ⅰ)当时,由(*)得,
所以,不符合题意;
(ⅱ)当时,由(*)得,其对称轴,不符合题意;
(ⅲ)当,且时,
当时,,,
整理为:,不成立,
当时,
要使直线与函数图像在内有两个交点,
当时,,当时,
只需满足 ,
解得:;①
当时
,
整理得: ,
若在区间方程有2个不等实数根,只需满足
,
解得: ②,
综上①②可知,的范围是
综上所述,a的取值范围为.
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【题目】下列结论中正确的个数是( )
①正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等;
②有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;
③两个底画平行且相似的多面体是棱台;
④底面是正三角形,其余各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥.
A.0B.1C.5D.4
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【题目】给出下列四个结论:
①当a为任意实数时,直线(a﹣1)x﹣y+2a+1=0恒过定点P,则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是;
②已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为2x﹣y=0,则双曲线的标准方程是;
③抛物线的准线方程为.
④已知双曲线,其离心率e∈(1,2),则m的取值范围是(﹣12,0).
其中正确命题的序号是___________.(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】某企业生产一种产品,根据经验,其次品率与日产量 (万件)之间满足关系, (其中为常数,且,已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元(注:次品率=次品数/生产量, 如表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品).
(1)试将生产这种产品每天的盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
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【题目】设抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴的正半轴上,点是抛物线上的一点,以为圆心,2为半径的圆与轴相切,切点为.
(I)求抛物线的标准方程:
(Ⅱ)设直线在轴上的截距为6,且与抛物线交于,两点,连接并延长交抛物线的准线于点,当直线恰与抛物线相切时,求直线的方程.
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