Question

已知定义域为区间[a，b]的函数f（x），其图象是一条连续不断地曲线，且满足下列条件：①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；②对任意不同的x、y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|，那么函数g（x）=f（x）-x在区间[a，b]上（　　）

A．没有零点

B．有且只有一个零点

C．恰有两个不同的零点

D．有无数个不同的零点

Answer 1

分析：由题意设g（x）=f（x）-x，已知区间[a，b]判断两个端点与0的关系，根据根的存在定理进行求解．

解答：解：由①知g（a）=f（a）-a≥a-a=0，g（b）=f（b）-b≤b-b=0
设a≤x₁≤x₂≤b，由②知f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁，g（x₂）＜g（x₁）
函数g（x）在区间[a，b]上是减函数，从而函数g（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点．
故选B．

点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数单调性的判定，同时考查了转化的能力，属于基础题．