Question

10．设函数g（x）=x²f（x），若函数f（x）为定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），对任意实数x满足x²f′（x）＞2xf（-x），则不等式g（x）＜g（1-3x）的解集是（　　）

• A． $（{\frac{1}{4}，+∞}）$
• B． （0，$\frac{1}{4}$）
• C． $（{-∞，\frac{1}{4}}）$
• D． $（{-∞，\frac{1}{4}}）∪（{\frac{1}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 由题意和乘积的导数可得奇函数g（x）=x²f（x）在R上单调递增，可化原不等式为x＜1-3x，解之可得．

解答 解：由题意可得函数g（x）=x²f（x）为R上的奇函数，
∵x²f′（x）＞2xf（-x），∴x²f′（x）+2xf（x）＞0，
∴g′（x）=x²f（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0，
∴奇函数g（x）=x²f（x）在R上单调递增，
∴不等式g（x）＜g（1-3x）可化为x＜1-3x，
解得x＜$\frac{1}{4}$
故选：C

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数的奇偶性，属基础题．