已知函数,
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在上是减函数,求实数的最小值;
(3)若,使成立,求实数取值范围.
(1)函数的单调递减区间是,,递增区间是。
(2)的最小值为。
(3)。
【解析】
试题分析:函数的定义域为,且 2分
(1)函数
当且时, ;当时,
所以函数的单调递减区间是,,递增区间是 .5分
(2)因为在上为减函数,故在上恒成立
所以当时,
又
故当,即时,
所以于是,故的最小值为 .8分
(3)命题“若,使成立”等价于
“当时,有”
由(2),当时,,所以
问题等价于: “当时,有” 9分
(i)当时,由(2)在上为减函数
则,故
(ii)当时,由于在上为增函数
故的值域为,即
由的单调性值域知
唯一,使,且满足:
当时,,为减函数;当时,,为增函数;所以,
所以,,与矛盾,不合题意
综上, 12分
考点:利用导数研究函数的单调性、极值,不等式恒成立问题。
点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值,是导数应用的基本问题,主要依据“在给定区间,导函数值非负,函数为增函数;导函数值非正,函数为减函数”。确定函数的极值,遵循“求导数,求驻点,研究单调性,求极值”。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得到解决。本题的难点在于利用转化思想的灵活应用。
科目:高中数学 来源: 题型:
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lnx |
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